Электронный Научно - Информационный Журнал Системное Управление. Проблемы и Решения
 

Оптимальное оценивание ВВП в стохастических моделях макросистем балансового типа с использованием фильтра Калмана-Бьюси

Выпуск 5

Мараховский А.С.

Практическое оценивание вектора внутреннего валового продукта (ВВП) в балансовой модели В.Леонтьва затруднено из-за наличия в макросистеме случайных колебаний, возникающих под действием непредсказуемо изменяющегося спроса. В этом случае детерминированные методы неприменимы, так как необходимые для управления системой элементы вектора ВВП не измеряются или измеряются с существенными случайными ошибками. В таких ситуациях управление макросистемой может определяться на основе результатов оценивания состояния системы, которое имеет лишь статистическую связь с данными валовых выпусков.

Модель, наиболее адекватно описывающая материально-финансовые потоки, поддерживающие балансы материально-денежных отношений в макроэкономической системе, была предложена В.Леонтьевым [1]. Детерминированный вариант межотраслевой балансовой модели предполагает наличие взаимосвязи между валовыми выпусками и затратами. Математическая запись модели представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

или (1)

X(t) - валовой внутренний продукт (ВВП); A - матрица коэффициентов прямых затрат, B - матрица капитальных затрат; Y(t) - вектор-функция конечного спроса; Е - единичная матрица; точка над Х(t) обозначает операцию дифференцирования.

Рассмотрим задачу синтеза линейного алгоритма оценивания (фильтрации) [2,3], который формирует несмещенную оценку вектора ВВП с минимальной дисперсией.

В качестве модели макросистемы возьмем стохастический вариант балансовой модели Леонтьева (1) записанный в следующем виде:

(2)
где ,,- детерминированное воздействие конечного
спроса на систему, - стохастическое возмущение конечного спроса.

Вектор измеряемых валовых выпусков этой системы, который доступен наблюдению и обработке, определяется соотношением:

(3)

Случайное воздействие конечного спроса на макросистему и помеху измерений v(t) будем считать гауссовскими случайными процессами типа белого шума с нулевыми математическими ожиданиями:

(4)
и корреляционной матрицей
(5)
(6)

где - дельта-функция Дирака; Q - симметричная неотрицательно-определенная матрица интенсивности белого шума ; R - симметричная положительно-определенная матрица интенсивности белого шума v(t).

Предположим, что начальное состояние макросистемы - n-мерный гауссовский случайный вектор с известным математическим ожиданием

(7)
и корреляционной матрицей
(8)
Для этой матрицы при совпадающих значениях аргументов будем использовать обозначение
(9)
Кроме того, предположим, что начальное состояние системы (2) и случайные воздействия спроса и помехи взаимно не коррелированны:
(10)
(11)
(12)

Искомой является линейная несмещенная оценка вектора , построенная на основе результатов наблюдений случайным образом меняющегося вектора валовых выпусков. Обозначим эту оценку через и допустим, что она может быть получена на выходе фильтра, описываемого векторным дифференциальным уравнением

(13)
Ошибку оценивания
(14)
можно назвать ошибкой фильтра. Чтобы процесс на выходе фильтра был несмещенной оценкой, должно выполняться равенство
(15)
Вычислим математическое ожидание обеих частей уравнения (13). Имеем
(16)
но из (3) следует, что
(17)
На этом основании получаем дифференциальное уравнение для среднего значения вектора валовых выпусков:
(18)
Вычисляя математическое ожидание от обеих частей уравнения (2), получаем еще одно уравнение для среднего значения вектора валовых выпусков
(19)
Сравнивая уравнения (19) и (18), можно определить первое условие несмещенности оценки вектора валовых выпусков с помощью рассматриваемого фильтра
(20)
Второе условие состоит в том, чтобы уравнения (19) и (18) решались при одном и том же начальном условии
(21)
Если выполнить условие несмещенности (20) и (21), то уравнение фильтра (13) примет вид
(22)
Остается определить матрицу коэффициентов усиления фильтра K, которая бы обеспечила оптимальную оценку в том смысле, что составляющие ошибки оценивания (14) должны иметь минимальную дисперсию. Матрица коэффициентов усиления оптимального фильтра определяется выражением
(23)
где - положительно-определенная матрица, являющаяся решением алгебраического матричного уравнения Риккати
(24)
Матрицу можно вычислить различными способами, в частности как установившееся решение дифференциального уравнения
(25)
т.е. В стохастической задаче фильтрации валовых выпусков макросистемы предполагается, что закон управления конечным спросом является линейным, зависящем от величины ВВП. Положим, что управление вместо самого ВВП зависит от его оценки: . Подставляя это уравнение в уравнения (2) и (22), получаем:
(26)

Таким образом, замкнутый контур регулирования, состоящий из модели макросистемы, фильтра случайных колебаний спроса и регулятора, можно описать обобщенной системой дифференциальных уравнений

(27)

Структурная схема стохастической системы управления приведена на рисунке 1. В общем случае для построения фильтра необходима ЭВМ, программа которой должна состоять из двух частей: первая включает решение уравнения Риккати (24), вторая - решение уравнений модели макросистемы (2) и фильтра (22).

Рисунок 1. - Структурная схема стохастической системы управления.

Рисунок 1. - Структурная схема стохастической системы управления.

Случайные воздействия конечного спроса и шумы измерений были сформированы с помощью датчика случайных чисел. Для этого случайный сигнал описывался корреляционной функцией вида

(28)

где - среднеквадратичное отклонение случайной величины; - шаг обращения к датчику случайных чисел. Применив преобразование Фурье к выражению для корреляционной функции, была получена спектральная плотность случайного сигнала

(29)
При достаточно малых спектральная плотность принималась равной:
(30)

Таким образом, приближенно можно считать, что случайный сигнал, формируемый датчиком случайных чисел при малых , являлся белым шумом.

Применение фильтра Калмана-Бьюси при оценке значений ВВП трехсекторной макросистемы, в которой помимо случайных колебаний конечного спроса присутствуют шумы измерений валовых выпусков показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Пример моделирования работы фильтра Калмана-Бьюси.

Рисунок 2. Пример моделирования работы фильтра Калмана-Бьюси.

Снижение шумовой составляющей оценки ВВП позволяет с большей надежностью и объективностью применять методологию межотраслевого анализа для прогнозирования ВВП на кратко- и среднесрочном временном горизонте.

Литература

1. Леонтьев В. Межотраслевая экономика. -М.: Экономика, 1997. -478с.

2. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. -М.: Наука, 1978. -213с.

3. Крутько П.Д. Наблюдение динамической системы как управляемый процесс // Известия вузов. Радиофизика, -1971г. -№7.

 
© МФТИ
© МЭРТ
© НП Аналитический центр "Концепт"
Сайт разработан:
"Golden CMF" ™ - 2energies ©

Издательство «Концепт» Москва 2004
Дата последней редакции: 16.10.2009

ГЛАВНАЯ   |   ПУБЛИКАЦИИ   |   РУБРИКАТОР   |    АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ   |   О ЖУРНАЛЕ   |   УЧРЕДИТЕЛИ